干涉条件

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两列波在同一介质中传播发生重叠时，重叠范围内介质的质点同时受到两个波的作用。若波的振幅不大，此时重叠范围内介质质点的振动位移等于各别波动所造成位移的矢量和，这称为波的叠加原理。若两波的波峰（或波谷）同时抵达同一地点，称两波在该点同相，干涉波会产生最大的振幅，称为相长干涉（建设性干涉）；若两波之一的波峰与另一波的波谷同时抵达同一地点，称两波在该点反相，干涉波会产生最小的振幅，称为相消干涉（摧毁性干涉）。

理论上，两列无限长的单色波的叠加总是能产生干涉，但实际物理模型中产生的波列不可能是无限长的，并从波产生的微观机理来看，波的振幅和相位都存在有随机涨落，从而现实中不存在严格意义的单色波。例如太阳所发出的光波来源于光球层的电子与氢原子的相互作用，每一次作用的时间都在10秒的量级，则对于两次发生时间间隔较远所产生的波列而言，它们无法彼此发生干涉。基于这个原因，可以认为太阳是由很多互不相干的点光源组成的扩展光源。从而，太阳光具有非常宽的频域，其振幅和相位都存在着快速的随机涨落，通常的物理仪器无法跟踪探测到变化如此之快的涨落，因而我们无法通过太阳光观测到光波的干涉。类似地，对于来自不同光源的两列光波，如果这两列波的振幅和相位涨落都是彼此不相关的，我们称这两列波不具有相干性。相反，如果两列光波来自同一点光源，则这两列波的涨落一般是彼此相关的，此时这两列波是完全相干的。

如要从单一的不相干波源产生相干的两列波，可以采用两种不同的方法：一种称为波前分割法，即对于几何尺寸足够小的波源，让它产生的波列通过并排放置的狭缝，根据惠更斯－菲涅耳原理，这些在波前上产生的子波是彼此相干的；另一种成为波幅分割法，用半透射、半反射的半镀银镜，可以将光波一分为二，制造出透射波与反射波。如此产生的反射波和透射波来自于同一波源，并具有很高的相干性，这种方法对于扩展波源同样适用。

两列波的干涉

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基础理论

两束光发生干涉后，干涉条纹的光强分布与两束光的光程差/相位差有关：当相位差为周期的整数倍时光强最大；当相位差为半周期的奇数倍时光强最小。从光强最大值和最小值的和差值可以定义干涉可见度作为干涉条纹清晰度的量度。

光作为电磁波，它的强度定义为在单位时间内，垂直于传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值：

从而光强可以用这个量来表征。对于单色光波场，电矢量可以写为

这里是复振幅矢量，在笛卡尔直角坐标系下可以写成分量的形式。

这里是在三个分量上的（实）振幅，对于平面波，即振幅在各个方向上是常数。是在三个分量上的相位，，是表征偏振的常数。

要计算这个平面波的光强，则先计算电场强度的平方：

对于远大于一个周期的时间间隔内，上式中前两项的平均值都是零，因此光强为

对于两列频率相同的单色平面波、，如果它们在空间中某点发生重叠，则根据叠加原理，该点的电场强度是两者的矢量和：

则在该点的光强为

其中、是两列波各自独立的光强，而是干涉项。 我们用、表示两列波的复振幅，则干涉项中可以写为

前两项对时间取平均值仍然为零，从而干涉项对光强的贡献为

根据前面复振幅的定义，、可以在笛卡尔坐标系下分解为

和

将分量形式代入上面干涉项的光强，可得

倘若在各个方向上，两者的相位差都相同并且是定值，即

其中是单色光的波长，是两列波到达空间中同一点的光程差。

此时干涉项对光强的贡献为

光波是电矢量垂直于传播方向的横波，这里考虑一种简单又不失一般性的情形：线偏振光，电矢量位于x轴上，传播方向为z轴方向，则两列波在其他方向上的振幅都为零：

代入总光强公式：

因此干涉后的光强是相位差的函数，当时有极大值；当时有极小值。

特别地，当两列波光强相同即时，上面公式可化简为

• ，此时对应的极大值为，极小值为0。

显然，对于不同的干涉情形，产生的极大值和极小值差异是不同的。由此可以定义条纹的可见度作为条纹清晰度的量度：

• ，即可见度的范围为0到1之间。

虽然以上的讨论是基于两列波都是线偏振光的假设，但对于非偏振光也成立，这是由于自然光可以看作是两个互相垂直的线偏振光的叠加。

波前分割干涉

杨氏双缝

主条目：双缝实验

杨氏双缝实验是最早被提出的光的干涉演示实验（托马斯·杨，1801年），这一实验的重要意义在于它是对光的波动说的有力支持，由于实验观测到的干涉条纹是牛顿所代表的光的微粒说无法解释的现象，双缝实验使大多数的物理学家从此逐渐接受了光的波动理论。杨氏双缝的实验设置如右图所示，从一个点光源出射的单色波传播到一面有两条狭缝的屏上，两条狭缝到点光源的距离相等，并且两条狭缝间的距离很小。由于点光源到这两条狭缝的距离相等，这两条狭缝就成为了同相位的次级单色点光源，从它们出射的相干光发生干涉，可以在远距离的屏上得到干涉条纹。

如果两条狭缝之间的距离为，狭缝到观察屏的垂直距离为，则根据几何关系，在观察屏上以对称中心点为原点，坐标为处两束相干光的光程分别为

当狭缝到观察屏的垂直距离远大于时，这两条光路长度的差值可以近似在图上表示为：从狭缝1向光程2作垂线所构成的直角三角形中，角所对的直角边。而根据几何近似，这段差值为

如果实验在真空或空气中进行，则认为介质折射率等于1，从而有光程差，相位差。

根据前文结论，当相位差等于时光强有极大值，从而当时有极大值；当相位差等于时光强有极小值，从而当时有极小值。从而杨氏双缝干涉会形成等间距的明暗交替条纹，间隔为。

不同狭缝间距情形下的双缝干涉的明暗相间条纹，左起第一和第三张图对应的狭缝间距a = 0.250mm，第二和第四张图对应的狭缝间距a = 0.500mm。照片中所看到的中央亮纹要比两边的亮条纹明亮，则是因为狭缝的衍射效应。

若在双缝干涉中增加狭缝在两条狭缝连线上的线宽，以至于狭缝无法看作是一个点光源，此时形成的扩展光源可以看作是多个连续分布的点光源的集合。这些点光源由于彼此位置不同，在屏上同一点将导致不同的相位差，将有可能导致各个点光源干涉的极大值和极小值点重合，这就导致了条纹可见度的下降。

菲涅耳双面镜[编辑]

菲涅耳双面镜干涉的几何示意图

菲涅耳双面镜（Fresnel double mirror）是一种可以直接产生两个相干光源的仪器。菲涅耳双面镜是两个长度相同的平面镜M1、M2的组合，两个平面镜的摆放相对位置成一个很小的倾角α。当光波从点光源S的位置入射到两个镜面发生各自的反射后，分别形成了两个虚像S1和S2。由于它们是同一光源的虚像，因此是相干光源，左图中蓝色阴影的部分即为两束光的干涉区域。

从图中可见菲涅耳双面镜干涉的几何关系与杨氏双缝相同，因此只要求得两个虚像间的距离d就可以推知干涉条纹的位置。如果设光源S到两个平面镜交点A的距离为b，根据镜面对称可知两个相干光源到镜面交点的距离也等于b，即，

而虚光路S1A、S2A和平分线（图中水平的点划线）的夹角都等于平面镜倾角α，从而有。

这个距离等效于杨氏双缝中两条狭缝的间距，代入上文中公式即可得到干涉条纹的位置。光波入射到两个镜面时各自都会发生的反射相变，从而不会影响两者最终的相位差，因此菲涅耳双面镜干涉条纹的形状与杨氏双缝完全相同，都是等间距的明暗相间条纹，中间为零级亮纹。

菲涅耳双棱镜[编辑]

菲涅耳双棱镜干涉的几何示意图

菲涅耳双棱镜（Fresnel double prism）是一种类似于菲涅耳双面镜的形成相干光源的仪器，它由两块相同的薄三棱镜底面相合而构成，三棱镜的折射角很小，并且两者的折射棱互相平行。当位于对称轴上的点光源S发出光时，入射光在两块棱镜的作用下部分向上折射，部分向下折射，从而形成两个对称的虚像，这两个虚像即为两个相干光源。

如果三棱镜的顶角为α，折射率为n，则当α很小时光线因折射的偏折角度。

如果点光源S到三棱镜的距离为a，则根据几何关系可知两个相干光源间的距离为

以下关于条纹间距的计算和杨氏双缝相同。

洛埃镜[编辑]

洛埃镜（Lloyd mirror）是一种更简单的波前分割干涉仪器，本质为一块平置的平面镜M。点光源S位于离平面镜M较远且相当接近平面镜所在平面的地方，因此入射光倾角非常小。点光源S和它在平面镜所成虚像S'形成了一对相干光源。根据图中几何关系，若点光源S到镜平面的距离为d，则两个相干光源间的距离为2d。由于两条相干光路中其中一条经过了镜面反射，因此只有一束相干光发生了的反射相变，出于这个原因干涉条纹的正中为零级暗纹。

迈克耳孙测星干涉仪[编辑]

主条目：迈克耳孙测星干涉仪

迈克耳孙测星干涉仪的基本光路图

迈克耳孙测星干涉仪（Michelson stellar interferometer）是利用干涉条纹的可见度随扩展光源的线度增加而下降的原理来测量恒星角直径的干涉仪。其基本光路如右图所示，它的概念首先由美国物理学家阿尔伯特·迈克耳孙和法国物理学家阿曼德·斐索在1890年提出，并由迈克耳孙和美国天文学家弗朗西斯·皮斯于1920年在威尔逊山天文台首次用干涉仪对恒星的角直径进行了测量。迈克耳孙测星干涉仪的长度约为6米，架设在口径为2.5米的胡克望远镜之上。其中两面平面镜M1、M2的最大间距为6.1米，并且是可调的；而平面镜M3、M4的位置是固定的，等于1.14米。当有星光入射到干涉仪上时，两组平面镜所构成的光路是等光程的，从而会形成等间距的干涉直条纹，而条纹间距为

架设在胡克望远镜上的迈克耳孙测星干涉仪，现保存于美国自然历史博物馆

这里是望远镜的焦距，是平面镜M3和M4之间的距离。而平面镜M1和M2之间的距离相当于扩展光源的线度，当M1和M2靠得很近时干涉条纹的可见度接近于1，随着两者间距增加可见度会逐渐下降为零。如果认为恒星是一个角直径为，光强均匀分布的圆形光源，其可见度由下面公式给出

其中，是贝塞尔函数。随着逐渐增加平面镜M1和M2之间的距离，当满足下面关系时，可见度首次降为零：

迈克耳孙测星干涉仪首次成功测量的恒星是参宿四，测得其角直径为0.047弧度秒，根据它到太阳的距离（约600光年）就可得到它的直径约为4.1×10千米，是太阳直径的300倍。事实上，这一台迈克耳孙测星干涉仪所能测量的都是直径在太阳直径数百倍的巨星，因为测量体积更小的恒星要求更大的M1和M2之间的距离，架设一台如此庞大的干涉仪对当时的技术而言相当困难。

振幅分割干涉

等倾干涉

如右图所示，一个单色点光源S所发射的电磁波入射到一块透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面发生反射和折射，而折射光其后又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介质中。这条折射光必然会与另一条直接被上表面反射的反射光重合于空间中某一点，由于它们都是同一波源发出的电磁波的一部分，因此是相干光，这时会形成非定域的干涉条纹。若光源为扩展光源，一般而言干涉条纹的可见度会下降，但若考虑两条反射光平行的情形，即重合点在无限远处，此时会形成定域的等倾干涉条纹。根据几何关系，两束光的光程差可以表示为

其中是平行平面板的折射率，是周围介质的折射率。具体长度可以表示为

其中是平行平面板的厚度，是入射角，是折射角，两者满足折射定律。

这样得到的光程差为，对应的相位差为，另外考虑到发生于上表面或下表面的反射相变，相位差应为

根据干涉相长和相消的条件，当，m是整数时有亮条纹，而当m是半整数时有暗条纹。

由此，每一条条纹都对应一个特定的折射角/入射角，从而被称作等倾干涉。如果观测方向垂直于平行平面板，则可以观察到一组同心圆的干涉条纹。 此外，从平行平面板下表面透射的两束平行光也会形成等倾干涉，但由于不存在反射相变，相位差不需要添加项，从而导致透射光的干涉条纹的明暗位置与反射光完全相反。

等厚干涉

若等倾干涉中的平行平面板两个表面不是严格平行的，如右图所示，则对于单色点光源S的出射光，其上下表面的反射光总会在空间中某一点P上形成干涉，并且其干涉条纹是非定域的。此时这两束光的光程差可以写为

类似地，是周围介质的折射率，是平行平面板的折射率。 一般来说这个计算相当困难，但在平行平面板足够薄，且两面夹角足够小的情形下（例如薄膜），光程差可近似得出为

其中是薄膜在反射点C的厚度，是在该点的反射角。从而对应的相位差。

若光源为扩展光源，则会使干涉光在点P的相位差范围扩大，从而导致条纹可见度下降，但例外情形是点P位于薄膜表面：此时对从扩展光源各点出射的干涉光而言厚度都是相同的，当变化范围很小时，干涉条件可写为

当m为整数时有干涉极大，m为半整数时有干涉极小。其中是对扩展光源各点取平均得到的的平均值，而项的存在是考虑到反射相变。 如果是常数，则条纹是薄膜中厚度为常数的点的连线，这被称作等厚条纹。等厚干涉经常被用来检测光学表面的厚度是否均匀，对正入射的情形，，则干涉极小条件为

等厚干涉的一个例子是劈尖干涉，即光线垂直入射到劈形的薄膜上，若劈尖的折射率为，则根据前面结论干涉条件为

其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹，条纹是一组平行于劈尖棱边的平行线，并且棱边上是零级暗纹。相邻明条纹对应的厚度差因而为。

进一步可得出条纹间距，其中是劈角，即劈尖干涉的条纹等间距。

等厚干涉的另一个著名例子是牛顿环。如右图所示，它是将一个曲率半径很大的透镜的凸表面置于一个玻璃平面上，并由平行光垂直入射而形成的干涉条纹。此时凸透镜和玻璃平面间的间隙形成了空气（折射率近似为1）为介质的劈尖，从而干涉条件为

• ，其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹。其干涉条纹是一组同心圆，并且中心为零级暗纹。

设透镜的曲率半径为，则条纹半径与劈尖厚度满足关系

从而可以得到干涉条纹的半径为，其中m为整数时是暗条纹，m为半整数时是亮条纹。由此可知牛顿环从中心向外条纹的间隔越来越密。

迈克耳孙干涉仪

主条目：迈克耳孙干涉仪

迈克耳孙干涉仪是典型的振幅分割干涉仪，它通过将一束入射光分为两束后，两束相干光各自被对应的平面镜反射回来从而发生振幅分割干涉。两束干涉光的光程差可以通过调节干涉臂长度以及改变介质的折射率来实现，从而能够形成不同的干涉图样。迈克耳孙干涉仪的著名应用是美国物理学家迈克耳孙和爱德华·莫雷使用它在1887年进行了著名的迈克耳孙－莫雷实验，得到了以太风测量的零结果。除此之外，迈克耳孙还用它首次系统研究了光谱线的精细结构。

右图是迈克耳孙干涉仪的基本构造：从光源到光检测器之间存在有两条光路：一束光被分束器（例如一面半透半反镜）反射后入射到上方的平面镜后反射回分束器，之后透射过分束器被光检测器接收；另一束光透射过分束器后入射到右侧的平面镜，之后反射回分束器后再次被反射到光检测器上。通过调节平面镜的前后位置，可以对两束光的光程差进行调节。值得注意的是，被分束器反射的那一束光前后共三次通过分束器，而透射的那一束光只通过一次。对于单色光而言只需调节平面镜的位置即可消除这个光程差；但对于复色光而言，在分束器介质内不同波长的色光会发生色散，从而需要在透射光的光路中放置一块材料和厚度与分束器完全相同的玻璃板，称作补偿板，如此可消除这个影响。

当两面平面镜严格垂直时，单色光源会形成同心圆的等倾干涉条纹，并且条纹定域在无穷远处。如果调节其中一个平面镜使两束光的光程差逐渐减少，则条纹会向中心亮纹收缩，直到两者光程差为零而干涉条纹消失。若两个平面镜不严格垂直且光程差很小时，光源会形成定域的等厚干涉条纹，其为等价于劈尖干涉的等距直条纹。

1905年至1930年间，人们又使用迈克耳孙干涉仪重复进行了多次迈克耳孙－莫雷实验，结果均不超过以太风存在情形下条纹移动量的10%。1979年，人们用激光进行了迄今为止最为精确的迈克耳孙－莫雷实验，实验所用的氦－氖激光频率被锁定到一个绝热稳定的法布里－珀罗干涉仪上，结果显示激光频率因以太风而可能存在的偏移不会超过其所预测的5×10。

马赫－曾德尔干涉仪

迈克耳孙干涉仪中，分束器也被用来使两束相干光重新会合发生干涉，而倘若采用一块独立的半透半反镜来使两束光重新会合，则可构造成马赫－曾德尔干涉仪（Mach-Zehnder interferometer）。它是由德国物理学家路德维希·马赫（恩斯特·马赫之子）和路德维希·曾德尔于十九世纪末设计的，其基本光路如左图所示：光源位于透镜的焦平面上，从透镜出射的平行光入射到第一面半透半反镜上分为两束，各自经一面平面镜反射后在完全相同的第二面半透半反镜重新会合，之后在两个方向上的光检测器都能发生干涉。通常，干涉仪中四个反射面需要被尽量设置为严格平行，并且四个反射点构成一个平行四边形以保证准直。由此，两列干涉臂的长度差异高度影响着两个方向上的光检测器所接收到的干涉信号，任何一个微小的光程差变化都会导致入射光能量的重新分配。当两列干涉臂的光程完全相等，并考虑光波在半透半反镜和平面镜上反射产生的多次半波损失，则可知此时两列相干光在光检测器1的光路上有相长干涉，所有入射光的能量都将进入光检测器1；而在光检测器2的光路上有相消干涉，没有入射光能量进入光检测器2。

在实际操作中，若其中一块半透半反镜和平面镜之间稍有倾斜，则会形成类似迈克耳孙干涉仪的劈尖干涉，即得到定域的平行等距直条纹。

通过测量光程差改变引起的光检测器所接收到的光强变化，马赫－曾德尔干涉仪经常用于测量可压缩气流中折射率的变化。即对于两条相干光路，其中一条作为参考光路，另一条置于待测气流中作为测试光路，从而可测得气流的折射率改变，进一步即可得到待测气流的密度改变。

相干性

主条目：相干性

在迈克耳孙干涉仪或马赫－曾德尔干涉仪这样的振幅分割干涉装置中，虽然两束光来自同一光源，但在实验中会发现如果一味增加两束光的光程差，会导致干涉条纹的可见度下降直至条纹消失；而在杨氏双缝干涉中，如果逐渐扩展两条狭缝在彼此连线上的线度，也会导致干涉条纹可见度的下降并最终消失。这种干涉条纹最终消失的现象是由于相干性，前者是由于实际的光波并非严格的无限长单色波列，它具有有限的相干长度（时间相干性）；后者是由于扩展光源造成了空间中不同点之间彼此的相干性下降（空间相干性）。例如在迈克耳孙干涉仪中，一列有限长度的入射波进入干涉仪后被分成长度相等的两列波，如果干涉仪两臂的光程差大于这两列波的长度，则对于这一入射波而言它产生的两列分波无法发生干涉，即两列波没有相干性。从而在任意时刻，到达空间中某一点的所有波列都来自不同的入射波的叠加，而这些入射波本身具有随机的相位和振幅涨落，在可观测时间内它们的叠加不产生干涉。

时间相干性

随着时间 的变化，在时间 内，一个相位显著飘移的波的振幅（红色），与延迟了时间 的振幅（绿色）。在任何设定时间 ，红色波会与延迟的绿色复制波互相干涉。可是由于一半的时间，红色波与绿色波同相位，另外一半时间，两个波异相位，所以，对于这个延迟，随着时间平均的干涉等于零。

时间相干性是光波单色性的一种反映，如果光波的单色性越好则它具有越好的时间相干性。也就是说，对于一列光波，将它延迟一段时间后再将其与自身延迟后的版本发生干涉，如果延迟的这段时间即使很大，而它仍然能与自身发生干涉，则称这列波或对应的波源有很好的时间相干性。对于严格的无限长单色波，无论延迟多久它仍然能与自身发生干涉；而对于实际的有限长波列超过一段特定时间之后则无法发生干涉，这段时间被称作相干时间，它也就是这列光波的持续时间。根据定义，描述时间相干性的方法即为自相关函数。

设有限长波列，其持续时间为，即当时。对这个波列做傅里叶变换，可得它的频谱为

这个积分的结果是一个归一化的Sinc函数，而频谱的模平方（功率谱）对应着光强。从函数可知光强的第一个零值对应着。

从而得到这列有限长波列的频率范围，即波列的频率范围近似为波列持续时间的倒数。事实上，实际的光波满足关系。由此可知激光的线宽也是时间相干性的反映，激光的线宽越窄则说明这束激光的时间相干性越高。

从相干时间可以进一步定义相干长度，是波长的范围。对于两列光波的光程差接近或大于它们的相干长度时，干涉效应将难以发生。

空间相干性

空间相干性是电磁波传播过程中在空间中两点的电场相关程度的反映，即它是一种互相关函数。如果一束电磁波在空间中传播的同一波阵面上不同点的相位彼此间高度相关，则认为这束电磁波有很强的空间相干性。例如，在一束激光的横截面上，向不同方向振荡的电场在相位变化上是高度一致的，即使这束激光的线宽很宽从而不具有很好的时间相干性。空间相干性是激光能够保持高度方向性的关键因素。

根据傅立叶光学，波源光强在二维平面上的分布的傅立叶变换，即是干涉条纹的可见度函数。从而对于线度为的扩展光源，其可见度是一个Sinc函数，因而在距离为的波阵面上，具有空间相干性的范围近似可表为

这个距离被称为相干间隔，由此可定义相干孔径角，也就是说在这个范围的光场内，波阵面上任意两点具有空间相干性。

由于杨氏双缝实验中条纹的可见度和狭缝在彼此连线上的扩展线度有很大关系，利用这个方法可以测量一些小光源的角幅度，这也正是迈克耳孙测星干涉仪的原理。

多光束干涉

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对于入射光照射到平行平面板产生振幅分割等倾干涉的情形，由于从下表面反射的光还存在被上表面再次反射的可能，从而会有第三束透射光从上表面出射并与前两束光发生干涉。以此类推，如果平行平面板对电磁波的损耗可以忽略（介质对电磁波没有吸收或散射），理论上会有无穷多束光从上表面出射，并且这些光彼此都是相干光。

平行平面板的多光束干涉

设平行平面板的折射率为，厚度为，入射的单色光倾角为，折射角为，则根据前面结论，相邻反射光或透射光之间的光程差为，对应相位差为。

如果要计算多束反射光或透射光的干涉，还需要计算这些光场的电场强度的矢量和（若用复振幅表示则为代数和）。对于平行平面板的上表面和下表面，都有特定的反射率（反射波振幅与入射波振幅之比）和透射率（透射波振幅与入射波振幅之比），这里设上表面（从周围介质进入板内）的反射率和透射率分别为、，下表面（从板内进入周围介质）的反射率和透射率分别为、。若入射波在入射点A1的复振幅为，则从上表面反射出的各光束的复振幅依次为

而忽略第一条透射波在平行平面板中传播产生的相移（因为它是一个在所有透射波中都会出现的常数），从下表面透射出的各光束的复振幅依次为

对所有反射光的复振幅求和，这是一个等比数列的无穷级数，结果为(无损，)

如果定义平行平面板上表面和下表面的反射比分别为，，并假设，而透射比。反射比和透射比是反射波和透射波的能量与入射波能量的比值，因此在忽略损耗的情形下需要满足能量守恒条件。

由此可以将反射光的振幅表示为

反射光的光强是复振幅的模平方，其表达式为

透射光的光强可以直接用入射光强减去反射光光强得到，也可以通过等比数列无穷级数求和：

反射光强与透射光强的表达式也被称作爱里公式。

根据透射光强的表达式，其干涉条件为

当m是整数时有透射光强的极大值，m是半整数时有透射光强的极小值。由于光强分布与倾角有关，因此得到的是等倾条纹。

通常在讨论反射光强和透射光强时，会引入一个参量，从而得到平行平面板的反射率函数和透射率函数：

透射率函数与细度的关系，较高细度的透射函数（红色曲线）和较低细度的透射函数（蓝色曲线）比较起来，具有更锐的峰值以及更低的透射极小值。图中是平行平面板的自由光谱范围，是透射峰的半高宽。

反射率和透射率都是波长的函数，在透射率函数上两个相邻的透射峰值之间的波长间隔被称作自由光谱范围（FSR），它由下式给出：

其中是最近峰值的中心波长。

用自由光谱范围除以透射率函数在峰值高度一半时的透射峰宽度（半高宽），得到的值称作细度：

对于较高的反射比（），细度通常可近似为

从这个公式可知反射比越高时细度越高，对应其透射峰的形状越锐利。

法布里－珀罗干涉仪

主条目：法布里－珀罗干涉仪

法布里－珀罗干涉仪是一种由两块平行的玻璃板组成的多光束干涉仪，本质和上节所述的平行平面板的干涉原理相同。其中两块玻璃板的内表面都有相当高的反射率，以确保得到细度足够高的干涉条纹。由于平行平面板只对特定波长的光有透射极大值，法布里－珀罗干涉仪能够对频率满足其共振条件的光进行透射或反射，并且能达到非常高的透射率和反射率，它因此也被称作法布里－珀罗谐振腔或法布里－珀罗标准具。法布里－珀罗干涉仪被广泛应用于远程通信、激光、光谱学等领域，它主要用于精确测量和控制光的频率和波长。例如，在光学波长计中就使用了数台法布里－珀罗干涉仪的组合，它们的共振频率彼此都相差10倍，待测入射光在这些干涉仪中发生干涉后，通过测量各自产生亮纹的间距即可得知待测光的波长。此外，在激光领域法布里－珀罗干涉仪还被用来抑制谱线的展宽，从而获得单模激光，而在引力波探测中法布里－珀罗干涉仪和迈克耳孙干涉仪组合使用，通过使光子在谐振腔内反复振荡增加了迈克耳孙干涉仪的干涉臂的有效长度。

如要观察到法布里－珀罗干涉仪的等倾干涉条纹，要在透射光的传播方向上垂直放置一透镜，当透镜光轴垂直于屏时，等倾干涉的条纹是一组同心圆，圆心对应着正入射透射光的焦点。此时由于是正入射，，在干涉条件中有最大值：

一般情况下不是整数，如将其整数部分设为，小数部分设为，即，则从中心亮纹数起，外圈第个亮纹的角半径为

从而圆条纹的直径满足

其中是透镜焦距。

法布里－珀罗干涉仪的三个重要特征参量是细度（自由光谱范围和透射峰的半高宽之比）、峰值透射率（透射光强和入射光强之比的最大值）、衬比因子（透射光强与入射光强之比的最大值和最小值之比），但由于反射比越高时细度才会越高，因此透射率和细度/衬比因子不能同时都很高。

量子干涉

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参见：双缝实验#量子力学结果及双缝实验中光子的动力学

用每次发射单个电子进行的双缝实验，用光子得到的结果也类似于此。本图描述的是随时间的累积，到达屏幕的电子的分布情况。

1905年至1917年间，爱因斯坦通过马克斯·普朗克的能量量子化假设和对光电效应的解释，在《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》、《论我们关于辐射的本性和组成的观点的发展》、《论辐射的量子理论》等论文中提出电磁波的能量由不连续的能量子组成，这些能量子被称为光量子（光子），而电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性，这被称作波粒二象性。自罗伯特·密立根于1916年完成了光电效应的一系列实验，以及阿瑟·康普顿于1923年观察到了X射线被自由电子的散射，并于1926年测定了光子的动量，物理学界都逐渐接受了电磁波也具有粒子性的这一事实。然而，如果我们从光子的角度来理解干涉现象，就会发现存在如下的问题：当两束相干光中对应的两个光子彼此发生干涉时，相长干涉的场合需要从两个光子中产生出四个光子，相消干涉的场合则需要两个光子彼此抵消，这违反了能量守恒定律。

对于这一问题的解决，量子力学的哥本哈根诠释认为光子的干涉是单个光子波函数的几率幅叠加，波函数是一种几率波，其复振幅（几率幅）的模平方正比于对应的状态（本征态）发生的几率。以双缝干涉为例，对于每个光子而言，其状态都为从两条狭缝中的每一条经过的量子态的叠加：

其中、分别对应从狭缝1、狭缝2经过的量子态，几率幅、对应这一光子从狭缝1和狭缝2出射的各自几率，其本身是一个复数。

而光检测器探测到这一光子的几率，从统计上看也就是光检测器探测到的光强，是几率幅叠加之后的模平方：

这一表达和经典的电磁波的矢量叠加非常相似——实际上，如果将上面的量子态、用具体的电磁波形式来代换，即用电磁场来表示光子的波函数，在形式上能得到和经典干涉相同的结论。然而，这种等效从根本上是错误的，因为电磁场是一个可观测量，而波函数在哥本哈根诠释中是一个不可观测量；从光子角度所看到的双缝实验是单个光子本身几率波的干涉，而几率也是单个光子出现在特定量子态的几率，而不是位于特定量子态的光子数量。关于这一点，保罗·狄拉克在《量子力学原理》中做了说明：

“在量子力学发现以前不久，人们就已了解到，光波和光子之间的联系必须是统计的性质。然而，他们没有清楚地了解到，波函数告诉我们的是一个光子在一特定位置上的几率，而不是在那个位置上可能有的光子数目。这一区别的重要性可在下面看清楚。假定我们令大量光子组成的光束分裂为两个强度相等的部分。按照光束的强度与其中可能的光子数目相联系的假定，我们就会得到，光子总数的一般分别走入每一组分。现在，如果使这两个组分互相干涉，我们就得要求，在一个组分中的一个光子能够与另一组分中的一个光子互相干涉。在某些情况下，这两个光子就要互相抵消，而在另一些情况下，它们就要产生四个光子。这样一来，就会和能量守恒相矛盾了。而新的理论把波函数与一个光子的几率联系起来，就克服了这一困难，因为这个理论认定，每一光子都是部分地走入两个组分中的每一个。这样，每一个光子只与它自己发生干涉。从来不会出现两个不同的光子之间的干涉。”——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第3节

尽管在理论上可以在双缝干涉中每次从相干光源只发射一个光子，根据波函数的统计诠释，经过长时间的积累在屏上将得到经典的干涉条纹；然而在当前的技术下，得到单光子态还十分困难——即使是采用单模激光作为相干光源，多个光子仍然会彼此非常接近地进入光检测器，这是光子作为玻色子的一种量子效应。实际操作中相对可行的办法是产生光子对，从而可以作为产生单光子态的一个近似，此时在一个光子对中第二个光子的频率和传播方向都和第一个光子相关，从而可被看作是单光子的福柯态。常见的产生光子对的方法之一是原子级联，实验中将钙原子激发到6S0态，它们会通过一个二阶辐射过程回到基态，并辐射出波长分别为551.3纳米和422.7纳米的光子对。另一种更常见的方法是利用非线性光学中的参量下转换，用晶体中的单个紫外光子作为泵浦光，其通过非线性效应产生一个信号光子和一个闲频光子，这两个光子的波长都近似为泵浦光子的波长的2倍，偏振方向都和泵浦光子互相垂直；通过采用双折射晶体可以实现泵浦光和下转换光的相位匹配，从而使输出光强得到最大。产生的两个下转换光子都携带了泵浦光子的相位信息，从而处于一个纠缠态，对信号光子的任何测量都会影响到闲频光子的量子态，反之亦然。

干涉测量技术

主条目：干涉测量术

基本原理

干涉测量术是基于电磁波的干涉理论，通过检测相干电磁波的干涉图样、频率、振幅、相位等属性，将其应用于各种相关测量的技术的统称。用于实现干涉测量术的仪器被称作干涉仪。在当今多个科研领域，干涉测量术都发挥着重要作用，包括天文学、光纤光学、工程测量学等。一般而言，干涉测量术分为两种基本类型：零差检波和外差检波。

零差检波

干涉测量术中，类似于前文中所叙述的两列波的干涉都可看作零差检波，即发生干涉的两列电磁波具有相同的（载波）频率或波长。在零差检波中待测电磁波和一个已知的参考信号（经常被称作本地振荡器）进行混波，而待测信号和参考信号的载频是相同的，这样得到的干涉光场可以消除电磁波本身频率噪声所带来的影响。典型的光学零差检波装置如马赫－曾德尔干涉仪，待测信号和参考信号来自同一波源。

外差检波

一个外差干涉的例子：频率分别为1千赫兹、1.4千赫兹、1.8千赫兹、2.2千赫兹的单色波发生外差干涉后，显示出400赫兹的拍频

外差检波是两束频率不同但相近的相干电磁波的干涉，最早在美籍加拿大发明家费森登的研究中被提到。它通过将待测电磁波和参考信号进行混波，实现对待测电磁波的频率调制。现今这种方法已被广泛地应用于远程通信和天文学领域的信号探测和分析中，其中以无线电波、红外线、可见光的干涉最为常见。待测信号和参考信号的频率相近而不完全相同，在外差检波中，两列波同时入射到一个混频器件——通常为（光）二极管——此时两者发生外差干涉。

如果设待测信号的电场为，参考信号的电场为，则发生外差干涉后在混频器件中接收到的光强为

最后的结果显示干涉光强来自三项不同的贡献：直流项（常数项）、高频项和拍频项（低频项），在外差干涉中前两者通常会被滤波器滤去，只保留较低频率的拍频。1962年，人们观察到两列频率非常接近的激光在光检测器上干涉会产生拍频，从那以后外差检波技术得到了飞速的发展，对拍频频率或相位的测量可以达到非常高的精度，从而对长度的干涉测量产生了深远的影响。

实际应用

光学干涉测量

可见光的干涉测量是干涉测量术中最先发展同时也得到最广泛应用的类别，早期的实际应用如迈克耳孙测星干涉仪对恒星角直径的测量，但如何获取稳定的相干光源始终是限制光学测量发展的重要原因之一。直至二十世纪六十年代，光学干涉测量技术得到了飞速的发展，这要归功于激光这一高强度相干光源的发明，计算机等数字集成电路获取并处理干涉仪所得数据的能力大大提升，以及单模光纤的应用增长了实验中的有效光程并仍能保持很低的噪声。电子技术的发展使人们不必再去观察干涉仪产生的干涉条纹，而可以对相干光的相位差直接进行测量。这里列举了光学干涉测量在多个方面的一些重要应用。

长度测量

长度测量是光学干涉测量最常见的应用之一。如要测量某样品的绝对长度，最简明的方法之一是通过干涉对产生的干涉条纹进行计数；若遇到非整数的干涉条纹情形，则可以通过不断成倍增加相干光的波长来获得更窄的干涉条纹，直到得到满意的测量精度为止。常见的方法还包括惠普公司研发的惠普干涉仪，它通过外加一个轴向磁场使氦－氖激光器工作在两个相近频率，从而发出频率相差2兆赫兹的两束激光，再通过偏振分束器使这两束激光产生外差干涉。干涉得到的差频信号被光检测器记录，而待测样品引起的光程差变化则可以通过计数器表示为光波长的整数倍。惠普干涉仪可以测量在60米左右以内的长度，在附加其他光学器件后还可以用于测量角度、厚度、平直度等场合。此外，还可以通过声光调制的方法得到差频信号，并且这种方法能获得更高的差频频率，从而可以从差频信号中得到更高的计数。

长度测量的另一类情形是测量长度的变化，常见的方法如借助声光调制产生的外差干涉，差频信号所携带的相位差会被光检测器记录，从而得到长度的变化。在测量像熔凝石英这样热膨胀系数很低的材料的热膨胀系数时，还经常用到一种更精确的方法：将两面部分透射部分反射的玻璃板置于待测样品的两端，从而构成一个法布里－珀罗干涉仪。使用两束发生外差干涉的激光，并通过反馈将其中一束激光的频率锁定到法布里－珀罗干涉仪的一个透射峰值频率上。这样，当样品发生热膨胀而改变法布里－珀罗干涉仪的长度时，透射峰值频率的变化会引起被锁定的激光频率的相应变化，这一变化也会反映到外差信号中从而被探测到。

光学检测

光学检测包括对光学元件和光学系统的检查和测试，诸如利用等厚干涉条纹来测量玻璃板各处的厚度，以及测量照相机镜头的调制传递函数（MTF）等都属于这类应用。利用等厚干涉来检测样品表面是否平整的最常见方法是斐索干涉仪，它利用准直平行光在样品表面反射后与入射光发生干涉，从而得到等厚条纹。此外，还可以采用从迈克耳孙干涉仪改进而来的特怀曼－格林干涉仪。特怀曼－格林干涉仪也使用准直平行光源，并由于从迈克耳孙干涉仪改进而来，它可以使两束相干光的光程非常接近，从而相比于斐索干涉仪它对光源的相干长度要求有所降低。

另一类广泛应用于检测光学元件表面、光学系统像差以及测量光学传递函数的干涉仪是剪切干涉仪，它将待测样品出射的波前分成两个，并使其相互错开一定距离（这段距离被称作剪切），两个波前重叠的部分即产生干涉图样。剪切干涉仪分为切向剪切、法向剪切和旋转剪切等类型：切向剪切干涉仪通常是一块平行平面板或略呈角度的劈尖，准直光源入射到平行平面板上就形成了两束错开的相干光；而法向剪切干涉仪则类似于斐索干涉仪和特怀曼－格林干涉仪。剪切干涉仪的优点是省去了作为参考的光学表面，结构简单且两束相干光的光程基本相等，而缺点则是对干涉图样的数值分析比较繁琐。

干涉光谱

使用SOHO卫星的LASCO C1摄影机观测到的太阳日冕。使用法布里－珀罗干涉仪精密测量了铁XIV的5308Å谱线的多个波长，这些波长因日冕中等离子体和探测卫星的相对运动而产生多普勒频移，对于不同程度的多普勒频移照片用了不同颜色表示，从而不同的颜色也表示了不同的相对速度。

光谱仪可分辨的两条谱线的中心波长与恰好可分辨的波长差的比值，称作光谱仪的色分辨本领。对利用色散效应的棱镜光谱仪以及利用衍射效应的光栅光谱仪，其色分辨本领都不会超过10的量级。然而若采用法布里－珀罗干涉仪，由于透射峰的半宽等于干涉仪的自由光谱范围除以它的细度：

并由干涉条件代入可得

从而法布里－珀罗干涉仪的色分辨本领为。一般干涉序，细度至少在，从而干涉光谱仪的色分辨本领在10至10的量级以上。

干涉仪的另一个重要应用是制造波长计，波长计又分为动态波长计和静态波长计，前者包含活动组件可调节光程差，后者则采用光程差为倍数递增关系的多个迈克耳孙干涉仪或自由光谱范围为倍数递增关系的多个法布里－珀罗干涉仪组合而成。此外利用激光的外差干涉，结合法布里－珀罗干涉仪可以更精确地测量激光的频率或比较两束激光的频率高低，并通过声光调制和光纤延迟还可以测量出激光的线宽。

天体测量

在迈克耳孙测星干涉仪被发明以前，恒星直径的测量始终是天文学上的一个难题，因为已知体积最大的恒星的角直径也只有10角秒。然而即使是迈克耳孙测星干涉仪，其分辨率也只能测量某些巨星的角直径，对质量稍小的恒星就无能为力。正是激光和外差干涉技术的发明，自二十世纪七十年代起在测星干涉领域引发了一场革新。在这些经改进的干涉仪中，望远镜捕捉到的星光与本地的激光发生外差干涉，两者频率非常接近，从而产生了射电频域内的拍频信号；并且由于这个拍频信号的光强来自星光和激光光强的乘积，这种干涉从而能获得更高的分辨率。此外这些实验大多使用了波长为10.6微米的二氧化碳激光，这也是由于较长的波长能提高外差干涉的分辨率。1974年，约翰森、贝茨和唐尼斯建造了一台基线长度为5.5米的差频干涉仪，使用了功率为1瓦特并经过稳频的二氧化碳激光，其工作波长为10.6微米。他们用这台干涉仪对一系列红外线源进行了观测，包括M型超巨星、米拉变星，并取得了一些星周尘壳的温度和质量分布等信息。而今随着技术和制造工艺的进步，这类干涉仪的基线长度已经可以扩展到几百米的距离，从而克服了最初迈克耳孙测星干涉仪遇到的困难。

天体测量学上的另一个问题是关于天体的位置和运动的测量。通过对恒星进行精确定位，可以将观测到的射电源位置和它们观测到的相应光学位置进行比对，从而直接测量它们的视差并建立宇宙距离尺度。此外这种测量还能帮助确定双星系统轨道的尺寸和形状。这类干涉仪包括位于亚利桑那州的海军原型光学干涉仪（NPOI），它由四个基本部分组成Y形，彼此之间的干涉臂长度为20米，NPOI对天体的定位可以达到毫角秒的量级；以及太阳系外行星天文干涉仪（ASEPS-0），它通过监视恒星因围绕其运动的行星而引起的反映运动来研究太阳系外行星。

引力波探测

引力波是广义相对论所预言的以光速传播的时空扰动，虽然引力波与物质的相互作用非常微弱，但已有间接的天体观测证据表明它确实存在于诸如双星系统这样的天体中，并对这类天体的物理性质有着重要影响。对引力波的直接观测不仅可以验证广义相对论，更重要的是提供了一种有别于基于电磁波观测的传统观测天文学的新观测手段。并且由于电磁波与引力波的不同性质，引力波天文学所研究的将是借助电磁波无法观测到的宇宙的另一个侧面。自二十世纪七十年代起，人们逐渐认识到基于干涉原理的引力波探测器是一种较有希望成功的设计，这类探测器的基本构成都是一架等臂迈克耳孙干涉仪：本质上，激光干涉引力波探测器是对干涉臂的长度变化进行测量，并对所观测得的数据进行分析，寄希望于寻找到其中引力波所导致的影响。即引力波所导致的干涉臂长度变化与干涉臂长度的比值：

其中和是引力波的两个偏振态，和是探测器分别对这两个偏振态的响应，是引力波的应力强度。在实际操作中，来自外界振动、分子热运动、以及光检测器读出的散粒噪声等噪声会叠加到观测数据中，因而对一般来自天体的引力波而言，如要探测到它们要求探测器的灵敏度要优于并尽可能地降低其他噪声。通过使用较长的干涉臂同时在两端分别增加法布里－珀罗谐振腔，以及采用功率回收技术等方法，可以有效地降低噪声并提高干涉仪的灵敏度。

美国路易斯安那州和华盛顿州的激光干涉引力波天文台（LIGO）是典型的基于迈克耳孙干涉仪和法布里－珀罗谐振腔的地面引力波探测器，它被寄希望于探测到频率在20赫兹至10千赫兹范围内的引力波信号。相同架构的地面引力波探测器还有意大利的VIRGO、德国的GEO600，日本的TAMA300以及计划中的LCGT。美国国家航空航天局和欧洲空间局正在合作研发激光干涉空间天线（LISA）项目，计划在太空中进行类似于迈克耳孙干涉仪的激光干涉，对低频区域（30微赫至0.1赫兹）的引力波进行探测。此外，日本正在计划中的分赫兹干涉引力波天文台（DECIGO）同样属于空间计划，人们寄希望于它能够探测分赫兹范围上的引力波，从而填补LIGO和LISA工作频域之间的空白。

射电干涉测量

主条目：射电天文学

望远镜的角分辨率正比于波长除以口径，而由于无线电波的波长远长于可见光，这造成单个射电望远镜无法达到观测一般的射电源所需的分辨率（例如采用波长为2.8厘米的无线电波进行分辨率为1毫角秒的观测，需要达6000千米的望远镜口径）。基于这个原因，英国天文学家马丁·赖尔爵士等人于1946年发明了射电干涉技术，他们用一架两根天线组成的射电干涉仪对太阳进行了观测。射电干涉技术采用多个分立的射电望远镜构成阵列，这些望远镜在观测时都对准同一射电发射源，各自观测所得的信号彼此用同轴电缆、波导或光纤连接后发生干涉。这种干涉不仅仅是提升了观测信号的强度，而且由于望远镜彼此间的基线距离很长，从而提升了观测的有效口径。由于各个望远镜的位置不同，同一波前到达各个望远镜的时间因而会存在延迟，这就需要对先到达的信号进行恰当的延迟以保持信号彼此之间的时间相干性。此外，构成干涉的望远镜数量越多越好，这是由于观测射电源表面的光强分布时，两台望远镜组成的干涉只能观测到光强分布的傅立叶变换（即可见度）的各个空间频率（这里空间频率的含义是描述光强在不同方向上变化快慢的傅立叶频率）中的一个频率；而采用多个望远镜构成阵列，则可以在多个空间频率上对射电源进行观测，再对观测所得的可见度函数进行逆傅立叶变换得到射电源的光强分布，这种方法叫做合成孔径。例如，位于新墨西哥州的甚大天线阵（VLA）由27架射电望远镜组成，每架望远镜由直径为25米的抛物面天线构成，彼此共形成351条彼此独立的干涉基线，最长的等效基线可达36千米。

二十世纪六十年代末，随着射电望远镜接收器的性能和稳定性的提高，在全世界（以至地球轨道）范围内使望远镜相距很远的同一射电信号之间产生干涉成为可能，这被称为超长基线干涉（VLBI）。超长基线干涉不需要观测信号之间的物理连接，而是在信号数据本身嵌入被原子钟校准的时间信息，之后再将这些数据进行相关性计算。由于这些数据是在相隔很远的地点观测到的，等效基线能够达到非常之长。现在已经运行的超长基线干涉仪包括位于美国本土及海外领地的超长基线阵列（基线长度8611千米），以及遍布欧亚和非洲大陆的欧洲超长基线干涉网。这些干涉阵列平时都进行着独立的观测，但在一些特殊项目中可以实现同时性的观测，从而形成全球性的超长基线干涉。

波的重叠原理

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两波在同一介质中传播，相向行进而重叠时，重叠范围内介质的 质点同时受到两个波的作用。若波的振幅不大，此时重叠范围内介质质点的振动位移等于各别波动所造成位移的矢量和，称为波的重叠原理。（光波传播时也有干涉现象，但是这时没有介质中的质点受作用） 同相（in phase）：若两波的波峰（或波谷）同时抵达同一地点，称两波在该点同相。 反相（half-cycle out of phase）：若两波之一的波峰与另一波的波谷同时抵达同一地点，称两波在该点反相。 两波交会后的波形和行进速度，不会因为曾经重叠而发生变化。

获得相干光

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基本原理：把一个光源的一点发出的光束设法分为两束，然后再使它们相遇。

两种基本方法：

分波阵面法（如杨氏双缝干涉、洛埃镜、菲涅尔双面镜以及菲涅尔双棱镜）和分振幅法（如薄膜干涉、劈尖干涉、牛顿环和迈克尔逊干涉仪）。

干涉的种类

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1、 相长干涉（constructive interference）：

两波重叠时，合成波的振幅大于成分波的振幅者，称为相长干涉或建设性干涉。

若两波刚好同相干涉，会产生最大的振幅，称为完全相长干涉或完全建设性干涉（fully constructive interference）。

2、相消干涉（destructive interference）： 两波重叠时，合成波的振幅小于成分波的振幅者，称为相消干涉或破坏性干涉。 若两波刚好反相干涉，会产生最小的振幅，称为完全相消干涉或完全破坏性干涉（fully destructive interference）。

驻波

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两个振幅、波长、周期都相同的正弦波相向行进，会干涉而形成驻波。详细参见：驻波的概念

每发生一次单交换都会影响它邻近发生另一次单交换的现象叫做干涉（遗传学）

独立传播特性

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几列波相遇时，每一列波都能保持各自的状态继续沿原来的传播方向向前传播，彼此之间互不影响，好象没有遇到其他波一样。